miércoles, 4 de mayo de 2016

Cargas estáticas.

TEORÍA DE FALLAS PARA MATERIALES FRÁGILES:

Se dice que un material es frágil cuando es muy poca la deformación que presentan antes de romperse. Para este tipo de materiales existen dos teorías, la teoría del máximo esfuerzo normal y el criterio de falla de Mohr.

Teoría de Coulomb-Mohr:
La teoría de Mohr-Coulomb es un modelo matemático  que describe la respuesta de materiales quebradizos, tales como hormigón, o agregados de partículas como el suelo, a esfuerzo cortante, así como tensión normal. La mayoría de los materiales en ingeniería clásica se comportan siguiendo esta teoría al menos en una parte del corte. En general, la teoría se aplica a los materiales para los que la resistencia a la compresión es muy superior a la resistencia a la tracción, caso de los materiales cerámicos. La teoría explica que el corte de un material se produce para una combinación entre tensión normal y tensión tangencial, y que cuanto mayor sea la tensión normal, mayor será la tensión tangencial necesaria para cortar el material. 

El criterio de fallo de Mohr-Coulomb se representa por la envolvente lineal de los círculos de Mohr que se producen en la rotura. La relación de esa envolvente se expresa como:

\tau = \sigma~\tan(\phi) + c
donde:
  • \tau es el esfuerzo cortante.
  • \sigma es la tensión de normal.
  • c es la intersección de la línea de fallo con el eje de \tau, llamada cohesión.
  • \phi es la pendiente del ángulo de la envolvente, también llamado el ángulo de rozamiento interno.
La compresión se asume positiva para el esfuerzo de compresión, aunque también se puede estudiar el caso con la tensión negativa cambiando el signo de \sigma
Si \phi = 0, el criterio de Mohr-Coulomb se reduce al criterio de Tresca. Si \phi = 90^\circ el modelo de Mohr-Coulomb es equivalente al modelo de Rankine. Valores más altos de \phi no están permitidos.
De los círculos de Mohr tenemos:
\sigma = \sigma_m - \tau_m \sin\phi ~;~~ \tau = \tau_m \cos\phi
donde
\tau_m = \cfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2} ~;~~ \sigma_m = \cfrac{\sigma_1+\sigma_3}{2}
y \sigma_1 es la tensión máxima principal y \sigma_3 es la tensión mínima principal.
De esta forma el criterio de Mohr-Coulomb puede expresarse también como:
\tau_m = \sigma_m \sin\phi + c \cos\phi ~.
Esta es la forma del criterio de Mohr-Coulomb aplicable al fallo en un plano paralelo a la dirección \sigma_2.

Teoría de Mohr modificada:
El criterio de Mohr modificado es un criterio de resistencia estática, aplicado a materiales frágiles. Este criterio representa una modificación del criterio de Coulomb-Mohr. El criterio de resistencia se escribe matemáticamente mediante tres condiciones que deben cumplirse para que el punto resista:



donde:
  •  σ1, σ2, σ3 son las tensiones principales en el punto analizado, ordenadas de forma que: 
                
  • Sut>0 es la resistencia a la rotura a tracción, Suc>0  la resistencia a la rotura a compresión
El coeficiente de seguridad en el punto analizado, de acuerdo con el criterio de Mohr modificado se obtiene de:
Este criterio de resistencia puede representarse gráficamente en un diagrama σ1-σ3, como se indica en la figura, representando la zona sombreada la zona segura, para la cual el material resiste de acuerdo con dicho criterio.


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